-선형 변환이란?

선형 결합을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수.

 

선형 변환은 1) 선형 결합의 보존과 2) 벡터 사이의 함수라는 것을 의미합니다.

벡터의 덧셈 법칙
벡터의 곱셈 법칙

선형 결합이란 위의 성질들을 의미하는데, 이러한 성질들이 보존되면서, 동시에 함수로 이루어지는 것입니다. 모든 벡터는 기저 벡터를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

즉, 단순히 (2,1)이라는 벡터들도 기저벡터들의 선형 결합을 의미한다는 것입니다. 

 

수학에서 선형대수학의 기본정리를 통해 모든 선형 변환은 대응하는 행렬이 존재한다는 정리를 가지고 있습니다.

그림과 같이 선형 변환 L : U -> V가 있다고 하면, 이에 대응하는 행렬이 있다는 것을 의미합니다. 이런 변환을 하는 행렬을 M이라고 했을 때, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

2차원의 공간벡터는 1x2행렬로 표현이 가능하며, 이에 대응하는 행렬은 2x2행렬로 표현이 가능하다. 위 그림은 다음과 같이 표현이 가능하다.

같은 2차원 기저 벡터를 사용하면, 2차 정방 행렬을 통해 선형 변환이 가능하다는 것을 알 수 있다.

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